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Consideriamo ora la variabile yN = x1 + ... + xN ove le {x j } sono variabili dicotomiche: eλ + e−λ 2 E(eλ yN ) = E(eλ x )N = N = (coshλ )N . 7) per la variabile yN = x1 + ... + xN , e ricordando che < yN >= 0 e σy2N = N otteniamo: √ √ P(yN ≥ a N) ≤ (coshλ )N e−λ a N , poich´e 3 coshλ ≤ eλ 2 /2 si ha √ √ 2 P(yN ≥ a N) ≤ e−λ a N+λ N/2 . 4). 5) vale per ogni a ed N non e` necessariamente grande. Nella prossima sezione vedremo che un risultato simile (ma solo per N 1) vale sotto ipotesi molto generali.

4). 5) vale per ogni a ed N non e` necessariamente grande. Nella prossima sezione vedremo che un risultato simile (ma solo per N 1) vale sotto ipotesi molto generali. 2 Basta notare che P(x ≥ b) = 3 ∞ b pX (x)dx ≤ ∞ b x pX (x)dx ≤ b Confrontiamo lo sviluppo di Taylor di coshλ e eλ coshλ = ∞ λ 2n ∑ (2n)! n=0 poich´e (2n)! (n + 1)n! ≥ 2n n! 2 /2 ∞ 0 x pX (x)dx = . b b : eλ 2 /2 = ∞ λ 2n ∑ 2n n! n=0 abbiamo 1/(2n)! ) e quindi coshλ ≤ eλ 2 /2 . 2 Teorema del limite centrale Abbiamo visto che nel limite N → ∞ la densit`a di probabilit`a di yn = (x1 + x2 + ...

E` interessante discutere il risultato precedente nel limite N 1 in cui e` possibile assumere (e sotto opportune condizioni dimostrare esplicitamente): E = eN + o(N) , S(E) = s(e)N + o(N) ove e ed s(e) sono l’energia per particella e l’entropia per particella rispettivamente. Abbiamo quindi pe (e) = const. e−β [e−T s(e)]N . Nel capitolo successivo vedremo che questo tipo di densit`a di probabilit`a e` una generalizzazione del teorema del limite centrale (grandi deviazioni). 15). 18), per la densit`a di probabilit`a dell’impulso di una particella si ha: 2 p , N − 1) ω(E − 2m .

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