Algèbre linéaire et bilinéaire - download pdf or read online

By Bernard Le Stum

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Remarque La proposition implique qu’un sous-espace vectoriel H d’un espace vectoriel E est un hyperplan si et seulement si c’est le supplémentaire d’une droite (d’un sous-espace isomorphe à K). Ce résultat nécessite que K soit un corps il est faux pour les A-modules en général. 5 Soit E un espace vectoriel. 1. On dit que p ∈ L(E) est une projection (ou un projecteur) si p ◦ p = p. 2. On dit que s ∈ L(E) est une symétrie si s ◦ s = IdE . 6 Soient E un espace vectoriel et p ∈ L(E). 1. Si p est une projection, alors E = ker p ⊕ im p.

N, on pose 1i = (0, . . , 0, 1, 0, . . , 0) avec 1 à la i-ème place. Montrer que (11 , . . , 1n ) est une base de K n . 2. On rappelle que, pour tout i = 1, . . , n, on pose pi (x1 , . . , xn ) := xi . Montrer que (p1 , . . , pn ) est une base de l’espace des formes linéaires sur K n . 3. Peut-on donner une base de 0/ ? de {0} ? de K ? de K N (réfléchir seulement) ? 4. Donner une base de Mn×m (K). 15 Donner une base de C comme espace vectoriel sur R, puis de son dual, puis du quotient C/R.

1. Si E est un sous-espace vectoriel de E, alors u−1 (u(E )) = E + ker u. 2. Si F est un sous-espace vectoriel de F, alors u(u−1 (F )) = F ∩ im u. Démonstration. 1. On dispose de la suite d’équivalences x ∈ u−1 (u(E )) ⇔ u(x) ∈ u(E ) ⇔ ∃y ∈ E , u(x) = u(y) ⇔ ∃y ∈ E , u(x − y) = 0 ⇔ ∃y ∈ E , x − y ∈ ker u ⇔ ∃y ∈ E , z ∈ ker u, x−y = z ⇔ ∃y ∈ E , z ∈ ker u, x = y+z ⇔ x ∈ E + ker u. 2. De même, on dispose de la suite d’équivalences y ∈ u(u−1 (F )) ⇔ ∃x ∈ u−1 (F ), ⇔ ∃x ∈ E, y = u(x) u(x) ∈ F et y = u(x) ⇔ y ∈ F et ∃x ∈ E, y = u(x) ⇔ y ∈ F ∩ im u.

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Algèbre linéaire et bilinéaire by Bernard Le Stum


by Jeff
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