Download e-book for iPad: Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3834805750

ISBN-13: 9783834805751

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik correct sind.

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Xn abh¨angt. 4) Sei n Die Funktion F ist aber auch an der Stelle x = 0 partiell differenzierbar mit F(hei ) − F(0) ∂F = 0, (0) = lim h→0 ∂xi h da F(hei ) = 0 f¨ur alle h ∈ R. Daraus folgt, dass F in ganz Rn partiell differenzierbar ist. F ist aber im Nullpunkt nicht stetig. Betrachten wir etwa die Werte von F auf der gegen 0 konvergierenden Punktfolge 1 1 , . , , k k k √ Es gilt r(ak ) = n/k, also ak := 1. (1/k)n F(ak ) = √ = n−n/2 ( n/k)n (unabh¨angig von k). Da limk→∞ F(ak ) = n−n/2 und F(0) = 0, ist F im Nullpunkt nicht stetig.

Seien V und W normierte Vektorr¨aume (¨uber R oder C) und sei A :V →W eine lineare Abbildung. A ist genau dann stetig, wenn es eine reelle Konstante C 0 gibt, so dass A(x) C x f¨ur alle x ∈ V. Beweis. a) Wir setzen zun¨achst die Stetigkeit von A im Nullpunkt voraus. Dann gibt es zu ε = 1 ein δ > 0, so dass A(z) < 1 f¨ur alle z ∈ V mit z < δ. Wir setzen C := 2/δ. Sei jetzt x ∈ V 0 beliebig, λ := (C x )−1 und z := λx. Dann gilt z = |λ| · x = δ/2 < δ, also A(z) < 1. Nun ist A(z) = A(λx) = λA(x) = also folgt A(x) 1 A(x), C x C x .

B) Schnittwinkel. Seien fi : [ai , bi ] → Rn zwei regul¨are Kurven (i = 1, 2). F¨ur ti ∈ [ai , bi ] gelte f1 (t1) = f2 (t2) und ϑ sei der Schnittwinkel von f1 und f2 bei den Parameterwerten t1 bzw. t2 . Seien nun ϕi : [αi , βi ] → [ai , bi ] zwei C 1 -Parametertransformationen und gi := fi ◦ ϕi die transformierten Kurven. F¨ur τi := ϕ−1 i (ti ) gilt dann g1 (τ1 ) = g2 (τ2 ). Wir bezeichnen mit ϑ den Schnittwinkel von g1 und g2 bei den Parameterwerten τ1 bzw. τ2 . Aus a) folgt: i) ϑ = ϑ, falls ϕ1 und ϕ2 beide orientierungstreu oder beide orientierungsumkehrend sind.

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewohnliche Differentialgleichungen by Otto Forster

by Edward

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