Download e-book for iPad: Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik correct sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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0) i-te Stelle 35 § 5. Partielle Ableitungen und flir den Limes h .... 0 hat man sich auf solche h E IR zu beschränken, ftir die h =F 0 und x + hei EU. Di f(x) heißt die i-te partielle Ableitung von f in x. (Bemerkung: Damit man die i-te partielle Ableitung von f im Punkt x EU definieren kann, ist nicht unbedingt notwendig, daß U offen ist. Es genügt, daß wenigstens eine Folge (hv)vE IN mit lim hv = 0 existiert, so daß hv =F 0 und x +hv ei EU ftir alle v. B. auch der Fall, wenn U = 11 X ... ) Die partiellen Ableitungen einer Funktion f: U - IR kann man als gewöhnliche Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen interpretieren: Sei x =(x~o ...

Xi-1• t Xi+l• ... , Xn). (Den Graphen von fi erhält man als Schnitt durch den Graphen von f. vgl. us der Defmit:on der partiellen Ableitung folgt . I) 1 f( x I = 11m h • 0 f. (x· + h) - f. ( I I I h 1 X1 _I • Die partielle t\bleitung bzgl. der i-ten Koordinatenrichtung ist also nichts anderes als die gewöhnliche Ableitung bzgl. der i-ten Variablen bei Festhaltung der übrigen n - 1 V(~ränder; 1chen. Deshalb gelten flir die partiellen Ableitungen analoge Rechenregeln wie flir die gewöhnlichen Ableitungen.

Verschieden durchlaufen. Da '{J : [ a, ß] ... [a, b] stetig und bijektiv ist, tritt genau einer der folgenden beiden Fälle auf: 1. '{J ist auf [a, ß] streng monoton wachsend. Man nennt die Parametertransformation '{J dann orientiernngstreu. 2. '{J ist auf [a, ß] streng monoton fallend. Dann heißt '{J orientiernngsumkehrend. Ist eine C1-Parametertransformation, so ist '{J - 1 o '{J = id folgt mit der Kettenregel '{J '{J 1 (t) ::;6 0 für alle t E [o:, ß], denn aus ('{J- 1)' ('{J (t)). '{J 1 (t) = 1 .

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


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