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By Dirk Ferus

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2 Rationale Funktionen Definition 49 (Rationale Funktionen). Sind f und g = 0 zwei Polynome und ist N (g) die Menge der Nullstellen von g, so heißt die auf dem Komplement von N (g) definierte Funktion f f (x) : R\N (g) → R, x → g g(x) bzw. f : C\N (g) → C, g z→ f (z) g(z) eine (gebrochen-)rationale Funktion. Nach dem Divisionsalgorithmus f¨ ur Polynome ist jede rationale Funktion h darstellbar als h=q+ f g mit Polynomen f, g, q, wobei der Grad von g echt gr¨oßer als der von f ist. Auch f¨ ur die rationalen Funktionen wollen wir Normalformen untersuchen.

Km schon definiert, so gibt es ein N ∈ N, so dass b− 1 1 < sn < b + m+1 m+1 f¨ ur alle n ≥ N. Wir w¨ ahlen ein solches n, welches außerdem > km ist. In xk k ≥ n gibt es eine Folge, die gegen sn konvergiert. Daher gibt es einen Index km+1 ≥ n > km mit b− 1 1 < xkm < b + . m+1 m+1 Die so konstruierte Teilfolge (xkm )m∈N konvergiert offenbar gegen b. Deshalb ist b ein H¨aufungspunkt der Folge. G¨ abe es einen H¨aufungspunkt ˜b > b, so g¨abe es eine gegen ˜b konvergente Teilfolge (xkm )m∈N . Dann ist aber b + ˜b < xkm 2 f¨ ur alle bis auf endlich viele m.

55 Zu (ii). Es gilt inf xk k ≥ n ≤ xn ≤ sup xk k ≥ n . Aus lim inf xk = a = lim sup xk folgt also lim xk = a. h. a ist der einzige H¨aufngspunkt der Folge. Aus (i) folgt dann lim inf xk = a = lim sup xk . Lemma 97. Seien (xn ) eine nicht-negative Folge und a ∈ R. Dann gilt √ √ lim xn = a =⇒ lim xn = a. Beweis. Aus den Anordnungsaxiomen folgt f¨ ur nicht negative a, b a < b ⇐⇒ a2 < b2 , also 0 ≤ a < b =⇒ √ a< √ (30) b. ur alle n ≥ N . Dann ist 1. Fall: a√= 0. Sei > 0. Dann gibt es ein N ∈ N mit 0 ≤ xn < 2 f¨ √ √ | xn − 0| = xn < f¨ ur alle n ≥ N .

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

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