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By Dirk Ferus

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Beispiel 61 (Schiefer Kreisring). Sei K ⊂ G ein abgeschlossener Kreis vom Radius r um a, der ganz im Gebiet G liegt. c(t) Sei z0 ein Punkt im Inneren von K und sei > 0, so dass die abgeschlossene -Umgebung von z0 im Inneren von K liegt. Definiere 2πit c(t) := a + re , r C(s,t) a t ε 2πit c (t) = z0 + e z0 und C(s, t) = sc(t) + (1 − s)c (t). 41 t G Dann gilt C([0, 1]2 ) ⊂ G \ {z0 }. ) Wie im Beispiel 49 rechnet man nach, dass ∂C = c c, Also ist der 1-Zyklus c c nicht nur nullhomolog in G, sondern auch nullhomolog in G \ {z0 }.

Seien G ⊂ C offen, f : G → C holomorph und S die Menge seiner isolierten Singularit¨ aten. Dann liegen in jeder kompakten Teilmenge von G ∪ S h¨ ochstens endlich viele Punkte von S. Beweis. W¨ ahle zu jedem z ∈ S eine offene Umgebung Uz in G∪S, so dass f auf Uz \ {z} ho¨ lomorph ist. Dann ist Uz ∩S = {z}. Die Uz bilden zusammen mit G eine offene Uberdeckung ¨ von von G∪S, und zur Uberdeckung einer beliebigen kompakten Teilmenge von G∪S reichen endlich viele davon. Definition 103. (i) Wir sagen f ist holomorph auf G bis auf isolierte Singularit¨ aten, wenn es eine Teilmenge S ⊂ G mit folgenden Eigenschaften gibt: (i) G und G \ S sind offen, (ii) f : G \ S → C ist holomorph, (iii) Alle Punkte von S sind isolierte Singularit¨aten von f .

H. so dass U ∗ (z0 ) := z ∈ C 0 < |z − z0 | < ⊂ G. Insbesondere ist dann also G ∪ {z0 } offen. Definition 100. Sei z0 eine isolierte Singularit¨at der holomorphen Funktion f . (i) Wir definieren die Ordnung von f in z0 durch Ord(f, z0 ) := sup n ∈ Z lim (z − z0 )−n f (z) existiert in C z→z0 . Die Ordnung ist also eine ganze Zahl oder −∞ oder +∞ (ii) Falls Ord(f, z0 ) ≥ 0, heißt z0 eine hebbare Singularit¨ at von f . (iii) Falls −∞ < m := Ord(f, z0 ) < 0, heißt z0 ein Pol von f und −m seine Polstellenordnung oder Vielfachheit.

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Komplexe Analysis [Lecture notes] by Dirk Ferus


by Mark
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